Lesson 2：報酬與風險指標

學習目標

• 正確區分 simple return、log return 與 CAGR。
• 理解 volatility、Sharpe、Sortino、Calmar 的問題設定與限制。
• 計算 max drawdown 與 drawdown duration。

1. 報酬的共同語言

簡單報酬：

r_t = P_t / P_(t-1) − 1

對數報酬：

g_t = ln(P_t / P_(t-1))

Log return 可跨期相加，simple return 才直接對應資產比例變化。上漲 50% 後下跌 50%，結果是 1.5×0.5−1 = -25%，不能將兩個百分比直接相消。

CAGR（複合年成長率）：

CAGR = (V_end / V_start)^(1 / years) − 1

CAGR 只看起點、終點與時間，不描述中間是否曾經腰斬。

2. Volatility（波動率）

一般以單期報酬的 sample standard deviation（樣本標準差）估計。每日資料常用：

annual_vol = daily_std × sqrt(252)

這依賴變異數可隨時間相加的近似。報酬有 autocorrelation 或 volatility clustering 時，單純平方根年化可能失真。美股日資料常用 252；全年交易的 crypto 日資料通常用 365。年化係數必須與資料頻率一致。

3. Sharpe ratio

William Sharpe 1994 年的表述核心是 excess return（超額報酬）相對於 variability（變異性）：

Sharpe = mean(R − Rf) / std(R − Rf)

若以每日資料計算，再乘 sqrt(252) 年化。Risk-free rate 必須先換算成每日頻率。

Sharpe 回答的是「每單位總波動換到多少超額報酬」，但有五個限制：

1. 上漲波動也進入分母。
2. 不充分描述 skewness（偏態）與 fat tail（厚尾）。
3. 平滑或低頻估價可能低估 volatility。
4. 短樣本與自相關會使估計不穩定。
5. 不同期間、成本、頻率與無風險利率的 Sharpe 不可直接排名。

所以清單上的 0.892 是特定估計值，不是策略永恆屬性。

4. Sortino 與 Calmar

Sortino 只用低於 minimum acceptable return（最低可接受報酬）的 downside deviation：

Sortino = annualized excess return / annualized downside deviation

若 Sortino 遠高於 Sharpe，常表示大部分波動來自上漲，或報酬呈正偏態；但也可能只是樣本很短、沒有捕捉到尾端虧損。

Calmar：

Calmar = CAGR / abs(max_drawdown)

它用單一最深回撤作分母，對回測起訖點與極端事件敏感。

5. Drawdown（回撤）

running_peak_t = max(V_0 ... V_t)
drawdown_t = V_t / running_peak_t − 1
max_drawdown = min(drawdown_t)

資產 100 → 120 → 90 → 125 的最大回撤是 90/120−1 = -25%。Drawdown duration 則是從前高開始，到重新回到或突破前高的時間。深度相同、恢復五天與五年的策略，心理與資金成本完全不同。

6. 指標要成組解讀

指標	回答的問題	主要盲點
CAGR	長期複合成長多少	不看路徑
Volatility	報酬分散程度	不等同永久損失
Sharpe	每單位總波動的超額報酬	尾端與非正態
Sortino	每單位下行波動的報酬	定義不一致、短樣本
Max drawdown	歷史最深跌幅	只取單一事件
Calmar	每單位最深回撤的 CAGR	對期間敏感

至少同時檢視：回測年數、regime、曝險、槓桿、成本、trade count、benchmark、rolling metrics 與樣本外績效。

Python 實作

執行：

python .\code\performance_metrics.py

接著修改範例 equity curve，使最終值相同但中間先下跌 40%，觀察 CAGR 不變而 max drawdown 與 Calmar 改變。

通關問題

某策略年化報酬 30%、波動率 60%；另一策略年化報酬 12%、波動率 10%。忽略無風險利率，粗略 Sharpe 分別為 0.5 與 1.2。這不代表第二個必然值得投資，但代表它在這組假設下的風險調整效率較高。